Question

（2012•河?xùn)|區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=（1+

1

tanx

）sin²x+msin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的取值范圍；
（2）當(dāng)tana=2時(shí)，f（a）=

3

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

），再根據(jù)x的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]
上的取值范圍．
（2）由tana=2時(shí)，f（a）=

3

5

，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 sin²a=

4

5

，cos²a=

1

5

．化簡tan（a） 等于

12+3m

10

，可得

12+3m

10

=

3

5

，由此解得m的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=（1+

1

tanx

）sin²x=

sinx+cosx

sinx

•sin²x=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

）．
∵

π

8

≤x≤

3π

4

，∴0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，∴-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，0≤f（x）≤

1+ 2

2

，
故f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的取值范圍為[0

1+ 2

2

，]．
（2）∵當(dāng)tana=2時(shí)，f（a）=

3

5

，∴sin²a=

4

5

，cos²a=

1

5

．
再由f（a）=（1+

1

tana

 ）sin²a+msin（a+

π

4

）sin（a-

π

4

）=

3

2

sin²a+m（

1

2

sin²a-

1

2

cos²a ）=

12+3m

10

，
可得

12+3m

10

=

3

5

，解得m=-2．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定于域和值域，屬于中檔題．