已知
a
=(x，0)，
b
=(1，y)，且(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程，且畫出軌跡C的草圖；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與上述曲線C交于不同的兩點A、B，求實數(shù)k和m所滿足的條件；
（3）在（2）的條件下，若另有定點D（0，-1），使|AD|=|BD|，試求實數(shù)m的取值范圍．
（1）(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)⇒(
a
+
3
b
)•(
a
-
3
b
)=0
⇒
a
2=3
b
2⇒x2=3（y2+1）
∴P（x，y）的軌跡C的方程為
x2
3
-y2=1
其草圖如右．（注：不畫漸近線，不得分）
（2）
y=kx+m
x2-3y2-3=0
⇒(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0
1-3k2≠0
△＞0
⇒
3k2≠1(k≠0)
3k2＜m2+1
（*）
（3）設A（x1，y1）、B（x2，y2），A、B中點為H（x0，y0），
則x0=
x1+x2
2
=
3km
1-3k2
，y0=kx0+m=
m
1-3k2
，
由題意，有AB⊥DH⇒kAB•kDH=-1
⇒k•
m
1-3k2
+1
3km
1-3k2
=-1
⇒3k2=4m+1，
代入（*），得
4m+1≠1
4m+1＞0
4m+1＜m2+1

⇒-
1
4
＜m＜0或m＞4．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點y在軸上，焦距為2
3
，且過點M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點N(
1
2
，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點，且N恰好為AB中點，能否在橢圓C上找到點D，使△ABD的面積最大？若能，求出點D的坐標；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點F（
3
，0），P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個動點，A與B關于原點對稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點C的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N*}，B={（x，y）|y=ax2-ax+a，x∈N*}，問是否存在非零整數(shù)a，使A∩B≠∅？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若點P（2，-1）平分橢圓
x2
12
+
y2
8
=1的一條弦，則該弦所在的直線方程為______．（結果寫成一般式）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的方程為：y2=4x，直線l過（-2，1）且斜率為k≥0，當k為何值時，直線l與拋物線C（1）只有一個公共點，（2）有兩個公共點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）長軸的右端點為A，短軸端點分別為B、C，另有拋物線y=x2+b．
（Ⅰ）若拋物線上存在點D，使四邊形ABCD為菱形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若a=2，過點B作拋物線的切線，切點為P，直線PB與橢圓相交于另一點Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，⊙的直徑，是延長線上的一點，過點作⊙的切線，切點為，連接，若，               ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，則PA＝________.

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