【題目】已知函數(shù)g(x)=ax﹣ ﹣5lnx,其中a∈R.
(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=x2﹣mx+4,當(dāng)a=2時(shí),若x1∈(0,1),x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵g(x)=ax﹣ ﹣5lnx,

∴g′(x)=a+ =

若g′(x)>0,可得ax2﹣5x+a>0,在x>0上成立,

∴a> = ,求出 的最大值即可,

= (x=1時(shí)等號成立),

∴a


(2)解:當(dāng)a=2時(shí),可得,g(x)=2x﹣ ﹣5lnx,

h(x)=x2﹣mx+4=(x﹣ 2+4﹣

x1∈(0,1),x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,

∴要求g(x)的最大值,大于h(x)的最大值即可,

g′(x)= = ,令g′(x)=0,

解得x1= ,x2=2,

當(dāng)0<x< ,或x>2時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);

當(dāng) <x<2時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù);

∵x1∈(0,1),

∴g(x)在x= 出取得極大值,也是最大值,

∴g(x)max=g( )=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3,

∵h(yuǎn)(x)=x2﹣mx+4=(x﹣ 2+4﹣ ,

若m≤3,hmax(x)=h(2)=4﹣2m+4=8﹣2m,

∴5ln2﹣3≥8﹣2m,∴m≥ ,

>3,故m不存在;

若m>3時(shí),hmax(x)=h(1)=5﹣m,

∴5ln2﹣3≥5﹣m,∴m≥8﹣5ln2,

實(shí)數(shù)m的取值范圍:m≥8﹣5ln2


【解析】(1)將函數(shù)為增函數(shù),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立,分離出參數(shù)a,求出a的范圍;(2)對h(x)進(jìn)行配方,討論其最值問題,根據(jù)題意x1∈(0,1),x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,只要要求g(x)max≥h(x)max , 即可,從而求出m的范圍;
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

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