Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不單調(diào)且僅在x=e處取得最大值，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，探究當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=

1

2

x2-x+1圖象之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（2）求導(dǎo)g′（x）=x-

a

x

+2=

x2+2x-a

x

（x＞0），令h（x）=x²+2x-a，（x＞0）；從而轉(zhuǎn)化為h（1）h（e）＜0，從而求a的取值范圍；
（3）先判斷在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)y=f（x）的圖象總在函數(shù)h(x)=

1

2

x2-x+1圖象的上方．再轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題證明．

解答： 解：（1）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)，
若a≤0，則f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上遞增；
若a＞0，則由f'（x）＞0，得x＞

a

，由f'（x）＜0，得0＜x＜

a

；
此時(shí)增區(qū)間為(

a

，+∞)，減區(qū)間為(0，

a

)．
當(dāng)a＞0時(shí)，顯見(jiàn)x=

a

為極小值點(diǎn)，極小值為f(

a

)=

a

2

(a-lna)；
當(dāng)a≤0時(shí)，無(wú)極值．
（2）g′（x）=x-

a

x

+2=

x2+2x-a

x

（x＞0），
設(shè)h（x）=x²+2x-a，（x＞0）；
若g（x）在[1，e]上不單調(diào)，
則h（1）h（e）＜0，
即（3-a）（e²+2e-a）＜0；
即3＜a＜e²+2e；
同時(shí)g（x）僅在x=e處取得最大值，
∴g（e）＞g（1），即可得出：a＜

e2

2

+2e-

5

2

，
故a的范圍：（3，

e2

2

+2e-

5

2

）．
（3）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)y=f（x）的圖象總在函數(shù)h(x)=

1

2

x2-x+1圖象的上方．證明如下，
即證：當(dāng)x＞1，f（x）＞h（x），即lnx+1＜x．
設(shè)m（x）=lnx+1-x，顯見(jiàn)，m′(x)=

1

x

-1＜0，
有m（x）在（1，+∞）減，
所以m（x）＜m（1）=0，
即在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)y=f（x）的圖象總在函數(shù)h(x)=

1

2

x2-x+1圖象的上方．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)的方法應(yīng)用，屬于難題．