Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，已知c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（1）若△ABC的面積等于$\sqrt{3}$，求a，b；
（2）求$\frac{2}$+a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由c=2，C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得：a²+b²-ab=4，根據(jù)三角形的面積$S=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$，聯(lián)立方程組解出即可得出．
（2）利用正弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：a²+b²-ab=4，
∵$S=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$，
∴ab=4，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}-ab=4\\ ab=4\end{array}\right.$，解得a=2，b=2．
（2）由題意$2R=\frac{c}{sinC}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
則$\frac{2}+a=2R（{\frac{sinB}{2}+sinA}）=2R（{\frac{sinB}{2}+sin（{B+\frac{π}{3}}）}）$
=$2R\frac{{\sqrt{7}}}{2}sin（B+φ）=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}sin（B+φ）$，（其中$tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ ），
當sin（B+φ）=1 時，$\frac{2}+a$ 的最大值為$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．