Question

an=

log	(n+2) (n+1)

(n∈N +)，我們把使乘積a₁a₂…a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“盛芳數(shù)”，則在區(qū)間[1，2009]內(nèi)所有”盛芳數(shù)”的和為（　　）

A．2026

B．2028

C．2011

D．2012

Answer 1

分析：由題意可得，a₁•a₂…a_n的表達(dá)式，通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)表達(dá)式，在區(qū)間[1，2009]內(nèi)所有“盛芳數(shù)”的和，即可求解．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2），n∈Z．
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（n+2）
若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k
在[1，2009]內(nèi)的所有“盛芳數(shù)”：2²-2，，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的數(shù)的和為2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義“盛芳數(shù)”為切入點(diǎn)，主要考查了對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔試題．