Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若曲線與直線相切，求的值.

（Ⅱ）若設(shè)求證：有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)合切點(diǎn)在函數(shù)上，可得

（Ⅱ）不妨設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在，使得，分類討論有：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在零點(diǎn)，且.②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上必存在零點(diǎn)，且.據(jù)此即可證得題中的結(jié)論.

（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)

又切點(diǎn)在函數(shù)上，即

（Ⅱ）不妨設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，

又，

所以必存在，使得，即

.

①當(dāng)時(shí)，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

注意到，

所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，且.

②當(dāng)時(shí),所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

且，

所以在區(qū)間上必存在零點(diǎn)，且.

綜上，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，且.