Question

6．高為1的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為$\frac{\sqrt{17}}{2}$的同一球面上，在底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)算出ABCD所在的平面小圓半徑為r=$\sqrt{2}$．四棱錐S-ABCD的高為1，得到S在平行于ABCD所在平面且距離等于1的平面α上，由此結(jié)合球的截面圓性質(zhì)和勾股定理加以計(jì)算，即可算出底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離．

解答 解：由題意，設(shè)正方形ABCD的中心為G，可得
∵ABCD所在的圓是小圓，對(duì)角線長為2$\sqrt{2}$，即小圓半徑為r=$\sqrt{2}$
∵點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為$\frac{\sqrt{17}}{2}$的同一球面上，
∴球心到小圓圓心的距離OG=$\frac{3}{2}$，
∵四棱錐S-ABCD的高為1，
∴點(diǎn)S與ABCD所在平面的距離等于1，
設(shè)平面α∥平面ABCD，且它們的距離等于1，平面α截球得小圓的圓心為H，
則OH=$\frac{1}{2}$，
∴Rt△SOH中，SH²=OS²-OH²=R²-（$\frac{1}{2}$）²=4，
可得SG$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，即底面ABCD的中心G與頂點(diǎn)S之間的距離為$\sqrt{5}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題給出四棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，求它的頂點(diǎn)到底面中心的距離．著重考查了正方形的性質(zhì)、球的截面圓性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，屬于中檔題．