Question

如圖1，平面四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AO=4，CO=2．將△BCD沿BD向上折起得四面體ABC′D（如圖2）．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）若AC′=2

7

，BO=3，求四面體ABC′D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明BD⊥AO，BD⊥OC′，即可證明BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）求出S_△AOC′=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

，利用BD⊥平面AOC′，BO=3，可求四面體ABC′D的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，
∴△ACD≌△ACB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴AC⊥BD，
∴BD⊥AO，BD⊥OC′，
∵AO∩OC′=0，
∴BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）解：△AOC′中，AO=4，C′O=2，AC′=2

7

，
∴cos∠AOC′=

16+4-18

2×4×2

=-

1

2

，
∴∠AOC′=120°，∴S_△AOC′=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

，
∵BD⊥平面AOC′，BO=3，
∴四面體ABC′D的體積為

1

3

×2

3

×6=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四面體ABC′D的體積，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．