已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an=1-2Sn，（n∈N*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)bn=n（an-1），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出
an
an-1
=
1
3
，n≥2，又n=1時(shí)，an=1-2S1=1-2a1，解得a1=
1
3
，由此能證明數(shù)列{an}為首項(xiàng)為
1
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列．
（II）由（I）知an=
1
3n
，從而得到bn=n（an-1）=n•
1
3n
-n，由此利用分組求和法和裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
解答： （I）證明：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an=1-2Sn，
∴n≥2時(shí)，an-1=1-2Sn-1，
兩式相減得：an-an-1=-2（Sn-Sn-1）=-2an，
∴
an
an-1
=
1
3
，n≥2，
又n=1時(shí)，an=1-2S1=1-2a1，解得a1=
1
3
，
∴數(shù)列{an}為首項(xiàng)為
1
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列．
（II）解：由（I）知an=
1
3n
，
∴bn=n（an-1）=n•
1
3n
-n，
∴Tn=（1×
1
3
-1）+（2×
1
32
-2）+…+（n•
1
3n
-n）
=（1×
1
3
+2×
1
32
+…+n×
1
3n
）-
n(n+1)
2
，
令Pn=1×
1
3
+2×
1
32
+…+n×
1
3n
，（1）
1
3
Pn=1×
1
32
+2×
1
33
+…+n×
1
3n+1
，（2）
（1）-（2），得
2
3
Pn=
1
3
+
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
-n×
1
3n+1

=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
-n×
1
3n+1

=
1
2
-
1
2
×
1
3n
-n×
1
3n+1
．
∴Pn=
3
4
-
n+9
3n+1
．
∴Tn=
3
4
-
n+9
3n+1
-
n(n+1)
2
．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

.已知f（x）=ax5-bx3+c（a＞0）．若f（x）在x=±1處有極值，且極大值為4，極小值為1，求a、b、c．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，若x=-2時(shí)，y=f（x）有極值．y=f（x）在（1，f（1））處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為
10
10
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，2asinB=
3
b
（1）求A
（2）若a=1，△ABC的面積S=2
3
，求b2+c2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx-cos2x+1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若f（θ）=
5
6
，θ∈（
π
3
，
7π
12
），求sin2θ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABC中，AB=1，B=60°，sinC=
7
14
．
（Ⅰ）求邊AC，BC的長；
（Ⅱ）若點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且使得∠BAD為鈍角，求線段BD長度的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，向量
AB
=（Sn，
1
4
-an），其中n∈N*，
CD
=（1，-
1
2
），且滿足
AB
∥
CD
．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a1a4a7…a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若數(shù)列對任意的n∈N*都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-
n
2
-1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于n∈N*，把n表示為n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，當(dāng)i=0時(shí)，ai=1；當(dāng)1≤i≤k時(shí)，ai為0或1．記I（n）為上述表示中ai為0的個(gè)數(shù)（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2，若r，m∈N*，a＞0，則：
（1）I（2r）=
 
；
（2）
2m-1
n=1
aI（n）=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：2an+1an+2an+1-an=0（n∈N*），a1=1，則a5=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案