Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，不等式≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.

（1）求cosC的取值范圍；

（2）當(dāng)∠C取最大值，且△ABC的周長(zhǎng)為6時(shí)，求△ABC面積的最大值，并指出面積取最大值時(shí)△ABC的形狀.

 

Answer 1

（1）；（2）。

【解析】

試題分析：（1） 需對(duì)分情況討論，cosC≠0時(shí)，則為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，則需；

（2）因?yàn)镾△ABC=，只需求的最大值，再由余弦定理的應(yīng)用及基本不等式去求。

（1）當(dāng)cosC=0時(shí)，sinC=1，原不等式即為4x+6≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立.

當(dāng)cosC≠0時(shí)，應(yīng)有

，解得（舍去）

∵C是△ABC的內(nèi)角， ∴

（2）∵0<C<π，

∴∠C的最大值為， 此時(shí)，

∴≥，

∴≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），

∴S△ABC=≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），

此時(shí)，△ABC面積的最大值為，△ABC為等邊三角形。

考點(diǎn)：（1）一元二次不等式的解法；（2）余弦定理的應(yīng)用；（3）利用基本不等式求最值。