Question

11．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，4a₁，2a₃，a₅成等差數(shù)列，且a₁+a₃+a₅=14，則a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1=2ⁿ⁺²-2．

Answer 1

分析 設(shè)a₁＞0，q＞0，運(yùn)用等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比q，再由條件解方程可得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的求和公式，注意公比和項(xiàng)數(shù)，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，q＞0，
由4a₁，2a₃，a₅成等差數(shù)列，可得4a₃=4a₁+a₅，
即有4a₁q²=4a₁+a₁q⁴，
解得q²=2，
a₁+a₃+a₅=14，可得a₁（1+q²+q⁴）=14，
即有a₁（1+2+4）=14，解得a₁=2，
則a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2（n+1）}）}{1-{q}^{2}}$=$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺²-2．
故答案為：2ⁿ⁺²-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．