Question

已知數(shù)列a_n的各項(xiàng)為正數(shù)，前n和為S_n，且Sn=

an(an+1)

2

，n∈N×．
（1）求證：數(shù)列a_n是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=

1

2Sn

，Tn=b1+b2+…+bn，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)a₁=S1=

a1(a1+1)

2

求出a₁的值，再由2a_n=2（S_n-S_n-1）可得Sn=

an(an+1)

2

，將其代入整理可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，再由a_n+a_n-1＞0可得到a_n-a_n-1=1，從而可證明{a_n}是等差數(shù)列．
（2）先根據(jù)（1）中的{a_n}是等差數(shù)列求出其前n項(xiàng)和Sn，進(jìn)而可表示出數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)數(shù)列求和的裂項(xiàng)法進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）Sn=

an(an+1)

2

，n∈N×，n=1時(shí)，
S1=

a1(a1+1)

2

，∴a1=1

2Sn= a 2 n +an 2Sn-1= a 2 n-1 +an-1

?2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
（2）由（1）an=n，Sn=

n(n+1)

2

，所以bn=

1

2Sn

=

1

n(n+1)

∴Tn=b1+b2++bn=

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和．對(duì)于數(shù)列的求和的方法--公式法、裂項(xiàng)法、分組法、錯(cuò)位相減法等腰熟練掌握，這是高考的重點(diǎn)．