Question

13．有下面四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{7}x+\frac{7}{4}}&{x≤0}\\{-{x^2}+x+2}&{x＞0}\end{array}}$的最大值是$\frac{9}{4}$；
③若函數(shù)ax²+ax+2＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜8；
④設(shè)數(shù)集M=$\{x|m≤x≤m+\frac{3}{4}\}，N=\{x|n-\frac{1}{3}≤x≤n\}$，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長(zhǎng)度”，那么M∩N的“長(zhǎng)度”最小值是$\frac{1}{12}$．其中正確命題的序號(hào)是②④（寫(xiě)出你認(rèn)為正確命題的所有序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；求出函數(shù)的最大值，可判斷②；求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍，可判斷③；求出M∩N的“長(zhǎng)度”最小值，可判斷④．

解答 解：①函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）和（0，+∞），故錯(cuò)誤；
②當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{4}{7}x+\frac{7}{4}$≤$\frac{7}{4}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=-x²+x+2≤$\frac{9}{4}$，
故函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{7}x+\frac{7}{4}}&{x≤0}\\{-{x^2}+x+2}&{x＞0}\end{array}}$的最大值是$\frac{9}{4}$，正確；
③若函數(shù)ax²+ax+2＞0恒成立，則a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-8a＜0\end{array}\right.$，
解得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a＜8，錯(cuò)誤；
④設(shè)數(shù)集M=$\{x|m≤x≤m+\frac{3}{4}\}，N=\{x|n-\frac{1}{3}≤x≤n\}$，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
則m∈[0，$\frac{1}{4}$]，n∈[$\frac{1}{3}$，1]
如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長(zhǎng)度”，
那么$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ n=1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{4}\\ n=\frac{1}{3}\end{array}\right.$時(shí)M∩N的“長(zhǎng)度”最小值是$\frac{1}{12}$，正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，單調(diào)性，最值，區(qū)間長(zhǎng)度，難度中檔．