Question

（08年新建二中五模） 如圖,矩形與所在平面垂直,將矩形沿對折,使得翻折后點落在上,設.

    ⑴試求關于的函數(shù)解析式；

    ⑵當取最小值時,指出點的位置,并求出此時與平面所成的角；

    ⑶在條件⑵下,求三棱錐內(nèi)切球的半徑.

 

Answer 1

解析：(1)顯然h＞1，連接AQ，

∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，

∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,

∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h(huán)2.

∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ=,

∴,即

.∴y=(h＞1).                                                 

(2)y===+≥2,                                             

當且僅當,即h=時，等號成立.

此時CQ=1,即Q為BC的中點，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交線，則過A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD與平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.                  

(3)設三棱錐P－ADQ的內(nèi)切球半徑為r,則(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)?r=VP－ADQ .

∵VP－ADQ=S△ADQ?PA=,S△PAQ=1,S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,∴r=