Question

16．已知函數(shù)$f（x）=sin（{\frac{3π}{4}-x}）-\sqrt{3}cos（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$，則f（x）是（　　）

• A． 周期為π，圖象關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{12}，0}）$對(duì)稱的函數(shù)
• B． 最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{12}，0}）$對(duì)稱的函數(shù)
• C． 周期為2π，圖象關(guān)于點(diǎn)$（{-\frac{π}{12}，0}）$對(duì)稱的函數(shù)
• D． 最大值為2，圖象關(guān)于直線$x=\frac{5π}{12}$對(duì)稱的函數(shù)

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、最大值以及它的圖象的對(duì)稱性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)$f（x）=sin（{\frac{3π}{4}-x}）-\sqrt{3}cos（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$，
即f（x）=sin[π-（$\frac{3π}{4}$-x）]-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）=2sin（x+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）
=2sin（x-$\frac{π}{12}$），
故函數(shù)f（x）的周期為2π，最大值為2，當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，f（x）=0，故B對(duì)且A不對(duì)；
根據(jù)當(dāng)x=-$\frac{π}{12}$時(shí)，f（x）=-1，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)$（{-\frac{π}{12}，0}）$對(duì)稱，故C不對(duì)；
再根據(jù)當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）=$\sqrt{3}$，不是最值，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線$x=\frac{5π}{12}$對(duì)稱，故D不對(duì)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、最大值以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．