Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+（a-2）x-2（a∈R）．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0；
（2）若a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，f（x）＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a=0和a≠0以及根的大小討論求解．
（2）a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，利用二次方程根的分布，可求a的取值范圍．
（3）當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，設(shè)g（a）=a（x²+x）-2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成關(guān)于a的一次函數(shù)求x的取值范圍．

解答 解：（ 1）由不等式f（x）≥0可得，（ax-2）（x+1）≥0．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式可化為-2（x+1）≥0，解得x≤-1；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程（ax-2）（x+1）=0有兩根-1，$\frac{2}{a}$．
若a＜-2，則-1＜$\frac{2}{a}$，由（ax-2）（x+1）≥0，解得-1≤x≤$\frac{2}{a}$；
若a=-2，不等式可化為-2（x+1）²≥0，解得x=-1；
若-2＜a＜0，則$\frac{2}{a}$＜-1，由（ax-2）（x+1）≥0，解得$\frac{2}{a}≤x≤$-1；
若a＞0，則$\frac{2}{a}$＞-1，由（ax-2）（x+1）≥0，解得x≤-1或x≥$\frac{2}{a}$；
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤-1}；
當(dāng)a＜-2時(shí)，不等式的解集為{x|-1≤x≤$\frac{2}{a}$}；
當(dāng)a=-2時(shí)，不等式的解集為{-1}；
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|}$\frac{2}{a}$≤x≤-1}；
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤-1或x≥$\frac{2}{a}$}．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）開口向上，
∵-1≤x≤1時(shí)，f（x）≤0時(shí)恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（-1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a-4≤0}\\{0≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤2．
所以，a的取值范圍為（0，2]．
（ 3）若當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，設(shè)g（a）=a（x²+x）-2（x+1）
因此，當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，f（x）＞0時(shí)恒成立等價(jià)于當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，g（a）＞0恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，g（a）=-2＜0，不符合題意；
當(dāng)x=-1時(shí)，g（a）=0，不符合題意；
當(dāng)x≠0，x≠-1時(shí)，只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$成立即可
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2≥0}\\{-{x}^{2}-3x-2≥0}\\{x≠0，x≠-1}\end{array}\right.$，解得-2≤x＜-1．
所以，x的取值范圍為[-2，-1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法（系數(shù)引發(fā)的討論）．轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)的思想．恒等式的轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題．屬于難題．