【題目】在直角坐標(biāo)系中,長為3的線段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng),點(diǎn)為線段上的點(diǎn),且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若點(diǎn)為曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),記,判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)的值和這個(gè)定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)存在;常數(shù),定值
【解析】
(1)設(shè)出的坐標(biāo),利用以及,求得曲線的方程.
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)出直線的方程,求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,寫出根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合以及為定值,求得的值.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),驗(yàn)證.由此得到存在常數(shù),且定值.
(1)解析:(1)設(shè),,
由題可得
,解得
又,即,
消去得:
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為
設(shè),
由可得:
由點(diǎn)到的距離為定值可得(為常數(shù))即
得:
即
,
又
為定值時(shí),,此時(shí),且符合
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線方程為
由題可得,時(shí),,經(jīng)檢驗(yàn),符合條件
綜上可知,存在常數(shù),且定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三棱錐P ABC中,PA⊥平面ABC,Q是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào),鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí) | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí) | |||
合計(jì) | 45 |
(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)和線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的學(xué)生共5名,若在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少1人每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的概率.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式 其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線,證明:在區(qū)間上存在唯一的,使得直線與曲線相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】港珠澳大橋是中國境內(nèi)一座連接中國香港、廣東珠海和中國澳門的橋隧工程,因其超大的建筑規(guī)模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術(shù)聞名世界,為內(nèi)地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑,某旅行社分年齡統(tǒng)計(jì)了大橋落地以后,由香港大橋?qū)崿F(xiàn)內(nèi)地前往香港的老中青旅客的比例分別為,現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取名,若青年旅客抽到60人,則( )
A.老年旅客抽到150人B.中年旅客抽到20人
C.D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人數(shù)之和超過200
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點(diǎn),PA=PB=PC=2,,點(diǎn)B在AC上的射影為D,則三棱錐體積的最大值為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)().
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,側(cè)面底面,,是邊長為2的正三角形底面是菱形,點(diǎn)為的中點(diǎn)
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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