Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_n}•{a_{n+1}}=\frac{n}{n+2}，（n∈{N^*}）$，${a_1}=\frac{1}{2}$．
（1）求a₂，a₃，a₄值；
（2）歸納猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，逐步求解數(shù)列的前幾項即可．
（2）猜想通項公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足${a_n}•{a_{n+1}}=\frac{n}{n+2}，（n∈{N^*}）$，${a_1}=\frac{1}{2}$．n=1，2，3時計算得${a_2}=\frac{2}{3}，{a_3}=\frac{3}{4}，{a_4}=\frac{4}{5}$…（3分）
（2）猜想${a_n}=\frac{n}{n+1}$…（5分）
證明如下：①當(dāng)n=1時，猜想顯然成立；…（7分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N⁺）時猜想成立，即${a_k}=\frac{k}{k+1}$成立，…（8分）
則當(dāng)n=k+1時，${a_{k+1}}=\frac{k}{k+2}•\frac{1}{a_k}=\frac{k}{k+2}•\frac{k+1}{k}=\frac{k+1}{（k+1）+1}$，
即n=k+1時猜想成立…（11分）
由①②得對任意n∈N^*，有${a_n}=\frac{n}{n+1}$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．