Question

8．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中點，E是CD的中點，點F在PB上，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FB}$．
（1）證明：EF∥平面ABC；
（2）若∠BAC=60°，求二面角B-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一，過點F作FM∥PA交AB于點M，取AC的中點N，連接MN，EN．可得四邊形MFEN為平行四邊形，即可證明EF∥平面ABC． 
法二，取AD中點G，連接GE，GF，得平面GEF∥平面ABC，即可對EF∥平面ABC
（Ⅱ）解：作BO⊥AC于點O，過點O作OH∥PA，
以O為坐標原點，OB，OC，OH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標系，利用向量法求解．

解答 （Ⅰ）證明：法一：如圖，過點F作FM∥PA交AB于點M，
取AC的中點N，連接MN，EN．
∵點E為CD的中點，∴EN∥AD，EN=$\frac{1}{2}AD$．
又D是PA的中點，E是CD的中點，點F在PB上，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FB}$．
∴FM=$\frac{1}{2}AD$，FM∥AD，∴FM∥EN且FM=EN，
所以四邊形MFEN為平行四邊形，
∴EF∥MN，∵EF?平面ABC，MN?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．   …（6分）

法二：如圖，取AD中點G，連接GE，GF，
則GE∥AC，GF∥AB，
因為GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，
所以EF∥平面ABC．…（6分）

（Ⅱ）解：作BO⊥AC于點O，過點O作OH∥PA，
以O為坐標原點，OB，OC，OH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標系，
則C（0，$\frac{3}{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}，0，0$），D（0，-$\frac{1}{2}$，1），∴$\overrightarrow{CD}=（0，-2，1）\overrightarrow{CB}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}，0）$，
則平面CDA的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（1，0，0）$
設平面CDB的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=-2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$
可取$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，1，2）$，所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
所以二面角B-CD-A的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．  …（12分）

點評 本題考查了空間線面平行的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．