Question

12．設(shè)不等式$\left\{\begin{array}{l}{y＞1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域?yàn)镈．若曲線y=ax²+1上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在D內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 作出區(qū)域D，曲線y=ax²+1表示過(guò)點(diǎn)A（0，1）的拋物線，可行域存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足拋物線，列出關(guān)系式求解可得．

解答 解：作出約束條件不等式$\left\{\begin{array}{l}{y＞1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的可行域D（如圖陰影），
曲線y=ax²+1上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在D內(nèi)，可知直線2x-y=0與拋物線相切是臨界點(diǎn)，如圖紅色曲線下方滿足題意，
設(shè)切點(diǎn)為P（m，2m），
y′=2ax，可得2am=2，2m=am²+1，可得m=1，
解得a=1，
可解得A（1，1），
結(jié)合圖象可得要使y=ax²+1與D內(nèi)存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)落在D上，可得0＜a＜1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．