Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=

1

3

AD．
（Ⅰ）求異面直線BF與DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點M，使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

？若存在，試確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：建立如圖的空間坐標系，給出相應點的坐標，
（Ⅰ）求出異面直線BF與DE的方向向量，利用數(shù)量積公式的變形形式求兩向量的夾角即可．
（Ⅱ）假設在線段CE上存在點M，使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用公式建立方程，若能求出符合條件的參數(shù)的值則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：建立如圖所示的直角坐標系，不妨設AB=1
則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），
F（0，0，1），E（0，1，1）
（Ⅰ）

BF

=(-1，0，1)，

DE

=(0，-2，1)cos＜

BF

，

DE

＞=

BF • DE

| BF || DE |

=

1

2 • 5

=

10

10

∴異面直線BF與DE所成角的余弦值為

10

10

．
（Ⅱ）設平面CDE的一個法向量為

n

=(x，y，z)

CD

=(-1，2，0)，

DE

=(0，-2，1)
∵

CD

•

n

=0

DE

•

n

=0
∴

-x+2y=0 -2y+z=0

令y=1，得x=z=2，∴

n

=(2，1，2)
設存在點M（p，q，r）滿足條件，由

CM

=λ

CE

得
p=1-λ，q=1，r=λ即M（1-λ，1，λ）
∴

AM

=（1-λ，1，λ）
∵直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

∴|cos＜

AM

，

n

＞|=

6

3

，

| AM • n |

| AM || n |

=

6

3

，得λ

1

2

故當點M為CE中點時，直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

點評：本題考查用空間向量求異面直線所成的角及直線與平面所成的角，及坐標運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，求線面角時由于直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值與線面角的正弦值相等，解題時易由于記憶不準把向量的夾角當成線面角導致出錯，對規(guī)律性的內(nèi)容要理解到位，掌握精準．