Question

數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，  an+1=

nan

(n+1)(nan+1)

(n∈N*)，其前n項的和為S_n．
求證：

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2(

2

-1)．

Answer 1

分析：先假設bn=

1

nan

，由此可得到bn+1=

1

(n+1)an+1

，由題設條件能推導出{b_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．所以an=

1

nbn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此入手能夠證明出

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2(

2

-1)．

解答：證明：假設bn=

1

nan

，∴bn+1=

1

(n+1)an+1

∵an+1=

nan

(n+1)(nan+1)

，
∴bn+1-bn=

1

(n+1)an+1

-

1

nan

=

1

(n+1) nan (n+1)(nan+1)

-

1

nan

=

nan+1

nan

-

1

nan

=1（3分）
∴{b_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．（4分）
∵b_n=2+（n-1）•1=n+1，∴an=

1

nbn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（6分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

∵

Si

Si+1

=

i(i+2)

(i+1)2

=

i2+2i

i2+2i+1

＜1∴(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

=(

1

Si

-

1

Si+1

)

Si

Si+1

=(

1

Si

-

1

Si+1

)(

1

Si

+

1

Si+1

)

Si

Si+1

=(

1

Si

-

1

Si+1

)(

Si

Si+1

+

Si

Si+1

)＜2(

1

Si

-

1

Si+1

)
∴

n

i=1

(1-

Si

Si+1

)

1

Si+1

＜2[(

1

S1

-

1

S2

)+(

1

S2

-

1

S3

)+(

1

Sn

-

1

Sn+1

)]=2(

1

S1

-

1

Sn+1

)=2(

2

-

n+2 n+1

)＜2(

2

-1)．（15分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，難度較大，解題時要認真審題，要注意培養(yǎng)計算能力．