(2008上海春,20)某廠根據(jù)市場(chǎng)需求開發(fā)折疊式小凳(如下圖).凳面為三角形的尼龍布,凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素,設(shè)計(jì)小凳應(yīng)滿足:①凳子高度為30cm,②三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)O與凳面三角形ABC重心的連線垂直于凳面和地面.
(1)若凳面是邊長(zhǎng)為20cm的正三角形,三只凳腳與地面所成的角均為45°,確定節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段的比值(精確到0.01cm);
(2)若凳面是頂角為120°的等腰三角形,腰長(zhǎng)為24cm,節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段之比為2∶3.確定三根細(xì)鋼管的長(zhǎng)度(精確到0.1cm).
解析:(1)如下圖,設(shè)△ABC的重心為H,連結(jié)OH. 由題意可得,. 設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為λ. 已知凳子高度為30, 則. (3分) ∵節(jié)點(diǎn)O與凳面三角形ABC重心的連線與地面垂直,且凳面與地面平行,∴∠OBH就是OB與平面ABC所成的角,亦即∠OBH=45°. ∵BH=OH,∴,解得, (6分) 即節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為0.63. (2)設(shè)∠B=120°,∴AB=BC=24,. 設(shè)△ABC的重心為H,則BH=8,, (10分) 由節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段之比為2∶3,可知OH=12. 設(shè)過點(diǎn)A、B、C的細(xì)鋼管分別為、、, 則, , ∴對(duì)應(yīng)于A、B、C三點(diǎn)的三根細(xì)鋼管長(zhǎng)度為別為60.8cm,36.1cm和60.8cm. (14分) |
剖析:本題主要考查創(chuàng)新思維及創(chuàng)新能力,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,對(duì)問題情境的理解是解決問題的關(guān)鍵. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:022
(2008上海春,12)已知A(1,2),B(3,4),直線,和.設(shè)是上與A、B兩點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn),則的面積是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
(2008上海春,19)已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)記為函數(shù)f(x)的反函數(shù).若關(guān)于x的方程在[1,2]上有解,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
(2008上海春,18)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B分別為直線x+y=2與x、y軸的交點(diǎn),C為AB的中點(diǎn).若拋物線過點(diǎn)C,求焦點(diǎn)F到直線AB的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:013
(2008上海春,16)已知,且|z-2-2i|=1,i為虛數(shù)單位,則|z+2-2i|的最小值是
[ ]
A.2 |
B.3 |
C.4 |
D.5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
(2008上海春,22)已知z是實(shí)數(shù)方程的虛根,記它在直角坐標(biāo)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.
(1)若(b,c)在直線2x+y=0上,求證:在圓上;
(2)給定圓,則存在唯一的線段s滿足:①若在圓C上,則(b,c)在線段s上;②若(b,c)是線段s上一點(diǎn)(非端點(diǎn)),則在圓C上.寫出線段s的表達(dá)式,并說明理由;
(3)由(2)知線段s與圓C之間確定了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究,填寫表一[表中是(1)中圓的對(duì)應(yīng)線段].
表一
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