Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=1，a₁=1，試比較$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$與$\frac{n+2}{2}（n∈{N^*}）$的大小并證明．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可

解答 解：a_n+1-a_n=1，a₁=1，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=n，
要證$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$
只要證1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n+2}{2}$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，1+$\frac{1}{2}$=$\frac{1+2}{2}$，結(jié)論成立，
（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≥$\frac{k+2}{2}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}$=$\frac{k+3}{2}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
綜上（1）（2）可知，對(duì)一切正整數(shù)，都有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n+2}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，立即可得到所有的正整數(shù)n都成立．