Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{3x}{a}-2{x^2}+lnx$，其中a為常數(shù)．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a=1得f（x）的解析式，求導(dǎo)，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分別得出x的取值范圍，即f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，得f′（x）≥0，分離出a，把右邊看為函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性得最值，得關(guān)于a的不等式，求解得a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=1時，f（x）=3x-2x²+lnx，定義域為（0，+∞）
f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+3=$\frac{-（4x+1）（x-1）}{x}$（x＞0）
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函數(shù)f（x）=3x-2x²+lnx單調(diào)增區(qū)間為（0，1），
函數(shù)f（x）=3x-2x²+lnx單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
即f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$≥0在[1，2]恒成立，
即$\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．
所以$\frac{3}{a}$≥h（2），故$\frac{3}{a}$≥$\frac{15}{2}$，0＜a≤$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，和其逆問題，由單調(diào)性來確定導(dǎo)數(shù)非負或非正，分離參數(shù)，利用函數(shù)的思想，求最值，得關(guān)于a的不等式．