精英家教網(wǎng)已知橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2在y軸上,短軸長(zhǎng)為2
2
,離心率為
2
2
,P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn),且
PF1
PF2
=1
,過P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證直線AB的斜率為定值.
分析:(1)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)題意可知b,進(jìn)而根據(jù)離心率和a,b和c的關(guān)系求得a和c,則橢圓的方程可得.進(jìn)而求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),分別表示出
PF 1
PF 2
,進(jìn)而根據(jù)
PF1
PF2
=1
求得x0和y0的關(guān)系式,把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程求和另一個(gè)關(guān)系式,聯(lián)立方程求得x0和y0即P的坐標(biāo).
(2)根據(jù)(1)可知PF1∥x軸,設(shè)PB的斜率為k,根據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立消去y,設(shè)出B的坐標(biāo),根據(jù)題意可求得xB的表達(dá)式,同理求得xA的表達(dá)式,進(jìn)而可知xA-xB的表達(dá)式,根據(jù)直線方程求得yA-yB,進(jìn)而根據(jù)斜率公式求得直線AB的斜率,結(jié)果為定值.
解答:解:(1)設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1,由題意可得b=
2
,
c
a
=
2
2
,即a=
2
c,
∵a2-c2=2
∴c=
2
,a=2
∴橢圓方程為
x2
2
+
y2
4
=1
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,
2
),(0,-
2
),設(shè)p(x0,y0)(x0>0,y0>0)
PF1
=(-x0
2
-y0),
PF2
=(-x0,-
2
-y0),
PF1
PF2
=x02-(2-y02)=1
∵點(diǎn)P在曲線上,則
y02
4
+
x02
2
=1
∴x02=
4-
y
2
0
2
,
從而
4-
y
2
0
2
-(2-y02)=1,得y0=
2
,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,
2


(2)由(1)知PF1∥x軸,直線PA,PB斜率互為相反數(shù),設(shè)PB的斜率為k(k>0),
則PB的直線方程為y-
2
=k(x-1),由
y-
2
=k(x-1)
x2
2
+
y2
4
=1

(2+k2)x2+2k(
2
-k)x+(
2
-k2)-4=0
設(shè)B(xB,yB),則xB=
2k(k-
2)
2+k2
-1=
k2 -2
2
k-2
2+k2
,
同理可得xA=
k2+2
2
k-2
2+k2
,則xA-xB=
4
2
k
2+k2
,
yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=
8k
2+k2

所以AB的斜率kAB=
yA-yB
xA-xB
=
2
為定值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.
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