Question

4．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，點A，B分別是橢圓與x軸，y軸的交點，且原點O到AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）F是橢圓的右焦點，過F的直線l交橢圓于M，N兩點，當(dāng)直線l繞著點F轉(zhuǎn)動過程中，試問在直線l′：x=3上是否存在點P，使得△PMN是以P為頂點的等腰直角三角形，若存在求出直線l的方程，不存在說明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意列方程解出a，b即可得出橢圓方程；
（II）當(dāng)l無斜率時，驗證（3，0）是否滿足條件，當(dāng)直線有斜率時，設(shè)出l的點斜式方程y=k（x-2），聯(lián)立方程組消元，求出MN及MN的中點坐標(biāo)D，若存在符合條件的點P（3，y），則PD⊥MN，且PD=$\frac{1}{2}MN$，列出方程組得出關(guān)于k和y的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（I）∵點A，B分別是橢圓與x軸，y軸的交點，∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∵橢圓離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，原點O到AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，解得a²=6，b²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（II）由橢圓方程可知橢圓右焦點F（2，0）．設(shè)MN的中點為D，
①若直線l無斜率，則直線l的方程為x=2，
把x=2代入橢圓方程得y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴MN=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
若直線l′：x=3上存在點P使得△PMN是以P為頂點的等腰直角三角形，
則PM=PN，故P（3，0）．PM=1，顯然PM≠$\frac{1}{2}$MN，即PM，PN不垂直．
②若直線l有斜率，設(shè)l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-2）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+1}$．
∴D（$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{-2k}{3{k}^{2}+1}$），MN=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+1}\sqrt{24{k}^{2}+24}$=$\frac{2\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$．
假設(shè)直線l′：x=3上存在點P（3，y）使得△PMN是以P為頂點的等腰直角三角形，
則$\left\{\begin{array}{l}{PD⊥MN}\\{PD=\frac{1}{2}MN}\end{array}\right.$．
若PD⊥MN，則$\frac{y+\frac{2k}{3{k}^{2}+1}}{3-\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}}=-\frac{1}{k}$，∴y+$\frac{2k}{3{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（3-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$）．
若PD=$\frac{1}{2}$MN，則$\sqrt{（3-\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}）^{2}+（y+\frac{2k}{3{k}^{2}+1}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$，∴$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|3-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$|=$\frac{\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$．
∴3$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，∴$\frac{1}{{k}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$．無解．
綜上，直線l′：x=3上不存在點P，使得△PMN是以P為頂點的等腰直角三角形．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．