Question

定義，
（Ⅰ）令函數(shù)，過坐標(biāo)原點O作曲線C：的切線，切點為P（n>0），設(shè)曲線C與及y軸圍成圖形的面積為S，求S的值。
（Ⅱ）令函數(shù),討論函數(shù)是否有極值，如果有，說明是極大值還是極小值。
（Ⅲ）證明：當(dāng)

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）當(dāng)時，有極小值，沒有極大值（Ⅲ）見解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及定積分的綜合運(yùn)用。
（1） ，
，，
曲線C與y軸交點為A（0，1）
又過坐標(biāo)原點O向曲線C作切線，切點為P（n，t）（n>0），
，切線方程為
（2），。
，
那么對于參數(shù)a分類討論得到單調(diào)性得到極值。
（3）令
又令 
兩次構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到結(jié)論。解：（Ⅰ） ，
，，
曲線C與y軸交點為A（0，1）……………1分
又過坐標(biāo)原點O向曲線C作切線，切點為P（n，t）（n>0），
，切線方程為…………3分
          ………………5分
（Ⅱ），。
   ………………6分
1）。當(dāng)即時，（），
在單調(diào)遞增從而沒有極值； ………………7分
2）。當(dāng)即時，方程有二個不等實根
，， 
若，則，，
在單調(diào)遞增從而沒有極值； ………………8分
若，則。當(dāng)；當(dāng)
當(dāng)時，有極小值，沒有極大值。 ………………9分
（Ⅲ）令，…………10分
又令 ，
單調(diào)遞減.……………………11分

單調(diào)遞減，………………12分
，
………………14分