Question

（2006•廣州二模）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，且此長方體的頂點(diǎn)都在半徑為

5

的球面上，則DC₁與B₁C所成角的余弦值是

2

4

，棱AA₁的長度為

2

．

Answer 1

分析：設(shè)棱AA₁的長度為a，根據(jù)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，可知BC的長度為a，CD的長度為

3

a，利用長方體的頂點(diǎn)都在半徑為

5

的球面上，可求棱AA₁的長度；連接AB₁，AC，則AB₁∥DC₁，則∠A₁B₁C（或其補(bǔ)角）為DC₁與B₁C所成角，在△A₁B₁C中，|A1B1|=2a，|B1C|=

2

a，|A1C|=2a，利用余弦定理可求DC₁與B₁C所成角的余弦值

解答：解：設(shè)棱AA₁的長度為a
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°
∴BC的長度為a，CD的長度為

3

a
∵長方體的頂點(diǎn)都在半徑為

5

的球面上
∴a2+a2+3a2=(2

5

)2
∴a=2
即棱AA₁的長度為2
連接AB₁，AC，則AB₁∥DC₁，
∴∠A₁B₁C（或其補(bǔ)角）為DC₁與B₁C所成角
在△A₁B₁C中，|A1B1|=2a，|B1C|=

2

a，|A1C|=2a
∴cos∠A1B1C=

4a2+2a2-4a2

2×2a× 2 a

=

2

4

故答案為：

2

4

，2

點(diǎn)評：本題考查的重點(diǎn)是線線角，考查長方體中棱長的計算，求線線角的關(guān)鍵是利用平移法，作出線線角．