Question

4．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1），A，B為拋物線上不重合的兩動點，O為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，過A，B作拋物線的切線l₁，l₂，直線l₁，l₂交于點M．
（1）求拋物線的方程；
（2）問：直線AB是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，說明理由；
（3）三角形ABM的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)焦點坐標(biāo)得出p，得出拋物線方程；
（2）設(shè)直線AB方程為y=kx+b，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和x₁x₂+y₁y₂=-4，得出b=2；
（3）求出l₁，l₂的方程，得出M點坐標(biāo)，計算|AB|和M到直線AB的距離，代入面積公式即可得出面積的最小值．

解答 解：（1）由焦點坐標(biāo)為（0，1）可知$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
∴拋物線方程為：x²=4y．
（2）由題意可知直線AB必存在斜率，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=-4b，
∴y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{16}$=b²，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4，
∴-4b+b²=-4，解得b=2．
∴直線AB過定點（0，2）．
（3）由x²=4y得y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
∴直線l₁的方程為：y-y₁=$\frac{1}{2}{x}_{1}$（x-x₁），①
直線l₂的方程為：y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），②
聯(lián)立①②可得M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），由（2）可知x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∴M（2k，-2），
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
由直線AB的方程為：y=kx+2，即kx-y+2=0，
M到直線AB的距離d=$\frac{2{k}^{2}+4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=4（k²+2）$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
∴當(dāng)k=0時，三角形ABM的面積取得最小值8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．