Question

15．若函數(shù)y=kx+1的圖象與函數(shù)y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的圖象恰有五個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（{-\frac{1}{8}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}）$．

Answer 1

分析 作出函數(shù)y=kx+1的圖象與函數(shù)y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的圖象，x＞1時(shí)，kx+1=$\frac{2}{x}$，即kx²+x-2=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，可得k的范圍，利用對(duì)稱性，即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：0＜x＜1時(shí)，y=2x；x＞1時(shí)，y=$\frac{2}{x}$，
函數(shù)y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|為偶函數(shù)，圖象如圖所示．
∵函數(shù)y=kx+1的圖象與函數(shù)y=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|的圖象恰有五個(gè)交點(diǎn)，
∴x＞1時(shí)，kx+1=$\frac{2}{x}$，即kx²+x-2=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴△=1+8k＞0且k＜0，
∴-$\frac{1}{8}$＜k＜0，
根據(jù)對(duì)稱性，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（{-\frac{1}{8}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}）$．
故答案為：$（{-\frac{1}{8}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確作出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．