Question

關于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0，當a為何實數(shù)時，
（1）有兩不同正根；
（2）不同兩根在（1，3）之間；
（3）有一根大于2，另一根小于2；
（4）在（1，3）內(nèi)有且只有一解．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)方程有兩不同正根，可得

△=4a2-4(a+2)＞0 2a＞0 a+2＞0

，解不等式，可得結論；

（2）根據(jù)不同兩根在（1，3）之間，可得

△＞0 1＜a＜3 1-2a+a+2＞0 9-6a+a+2＞0

，解不等式，可得結論；

（3）由方程有一根大于2，另一根小于2，可得2²-4a+a+2＜0，解不等式，可得結論；
（4）令f（x）=x²-2ax+a+2，對稱軸為x=a．分類討論，當1＜a＜3時，有兩個相等的解；方程在（1，3）內(nèi)有且只有一解，再考慮端點，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵方程有兩不同正根，
∴

△=4a2-4(a+2)＞0 2a＞0 a+2＞0

，
∴a＞2；
（2）∵不同兩根在（1，3）之間，
∴

△＞0 1＜a＜3 1-2a+a+2＞0 9-6a+a+2＞0

，
∴2＜a＜2.2；
（3）∵方程有一根大于2，另一根小于2，
∴2²-4a+a+2＜0，
∴a＞2；
（4）令f（x）=x²-2ax+a+2，對稱軸為x=a．
①當1＜a＜3時，有兩個相等的解，需△=4a²-4（a+2）=0
即a²-a-2=0
解得a=2或a=-1，
∵1＜a＜3，
∴a=2符合題意；
②若方程在（1，3）內(nèi)有且只有一解
則需f（1）f（3）＜0
即（-a+3）（-5a+11）＜0
∴（a-3）（5a-11）＜0
解得2.2＜a＜3；
③當a=3時，f（x）=x²-6x+5
f（3）＜0，f（1）=0不符合題意
a=2.2時，f（3）=0，f（1）＞0符合題意
∴a=2或2.2≤a＜3．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布于系數(shù)的關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．