【題目】已知函數(shù)
(1)設(shè)a>1,試討論f(x)單調(diào)性;
(2)設(shè)g(x)=x2﹣2bx+4,當(dāng) 時(shí),任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
= ,
令f'(x)=0,則x1=1, (a>1,x2<0)舍去.
令f'(x)>0,則x>1,令f'(x)<0,則0<x<1,
所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減
(2)解:當(dāng) 時(shí),
由(1)可知f'(x)=0的兩根分別為x1=1,
令f'(x)>0,則0<x<1或x>3,令f'(x)<0,則1<x<3
可知函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,
所以對(duì)任意的x1∈(0,2),有 ,
由條件知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
所以 即存在x2∈[1,2],使得 ,
分離參數(shù)即得到 在x∈[1,2]時(shí)有解,
由于 (x∈[1,2])為減函數(shù),故其最小值為 ,
從而 ,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f(x1)≥f(1)=﹣ ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在x2∈[1,2],使得 ,分離參數(shù)即得到 在x∈[1,2]時(shí)有解,求出b的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,
PC⊥底面ABCD,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asinB+bcosA=0.
(1)求角A的大;
(2)若 ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|在區(qū)間[0,c]內(nèi)的最大值為M(a,b∈R,c>0位常數(shù))且存在實(shí)數(shù)a,b,使得M取最小值2,則a+b+c= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln|x|,g(x)=﹣x2+3,則f(x)g(x)的圖象為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與h(x)=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[1, +2]
B.[1,e2﹣2]
C.[ +2,e2﹣2]
D.[e2﹣2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分別是A1B,AC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面AEF⊥平面AA1B1B;
(2)若A1A=2AB=2BC=4,求三棱錐F﹣ABC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C: (θ為參數(shù)),點(diǎn)P在直線l:x+y﹣4=0上,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(I)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程;
(II)射線OP交圓C于R,點(diǎn)Q在射線OP上,且滿足|OP|2=|OR||OQ|,求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.
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