Question

14．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BD上，且BF=$\frac{1}{3}$BD，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{EF}$；
（2）求證：E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）由向量的加法法則得到$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，由此能用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{EF}$．
（2）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{FC}$，得到$\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{EF}$，由此能證明E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）∵在?ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BD上，且BF=$\frac{1}{3}$BD，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow$．
（2）$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$）+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$，
由（1）得$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{EF}$，∴$\overrightarrow{FC}∥\overrightarrow{EF}$，
又∵$\overrightarrow{FC}$與$\overrightarrow{EF}$有公共點(diǎn)F，
∴E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本考查空間向量的加法法則的應(yīng)用，考查三點(diǎn)共線的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．