Question

【題目】如圖，直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)．

（1）求證：B1C∥平面 A1BG；

（2）若AB=BC， ，求證：AC1⊥A1B．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，由三角形中位線(xiàn)定理得，由此能證明平面；（2）由線(xiàn)面垂直得，由已知推導(dǎo)出，從而得到，由此能證明.

試題解析：（1）證明：連結(jié)AB1，交A1B于點(diǎn)O，連結(jié)OG，在△B1AC中，∵G、O分別為AC、AB1中點(diǎn)，∴OG∥B1C，又∵OG平面A1BG，B1C平面A1BG，∴B1C∥平面 A1BG．

（2）證明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG平面ABC，∴AA1⊥BG，∵G為棱AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BG⊥AC，∵AA1∩AC=A，∴BG⊥平面ACC1A1，∴BG⊥AC1，∵G為棱AC中點(diǎn)，設(shè)AC=2，則AG=1，∵，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AG中，，∴∠AC1C=∠A1GA=∠A1GA+∠C1AC=90°，∴A1G⊥AC1，∵，∴AC1⊥平面A1BG，∵A1B平面A1BG，∴AC1⊥A1B.