如圖,設有雙曲線,F1,F2是其兩個焦點,點M在雙曲線上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面積;
(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面積又是多少?
(3)觀察以上計算結果,你能看出隨∠F1MF2的變化,△F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結論.
(1) ; (2)
,
; (3) θ增大時面積變小,證明過程見解析.
解析試題分析:(1) 設,
, 直角三角形△F1MF2中
,利用雙曲線定義得
,平方得
,求得面積;(2) △F1MF2 中由余弦定理可得,|MF1|·|MF2|,由面積公式
可得面積;(3) 由雙曲線定義與余弦定理,可得面積與θ的關系
,所以θ增大時面積變。
解:(1)由雙曲線方程知a=2,b=3,,
設,
(
).
由雙曲線定義,有,兩邊平方得,
,
即,
也即,求得
. 4分
(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,
由余弦定理得,
,所以
.
求得.
同理可求得若∠F1MF2=120°, . 8分
(3)由以上結果猜想,隨著∠F1MF2的增大,△F1MF2的面積將減小.
證明如下:
令∠F1MF2=θ,則.
由雙曲線定義及余弦定理,有
②-①得,
所以,
因為0<θ<π,,
在內(nèi),
是增函數(shù),
因此當θ增大時, 將減。 12分
考點:雙曲線的定義,余弦定理,三角形面積公式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
橢圓的對稱中心在坐標原點,一個頂點為,右焦點F與點
的距離為2。
(1)求橢圓的方程;
(2)斜率的直線
與橢圓相交于不同的兩點M,N滿足
,求直線l的方程。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(滿分14分)如圖在平面直角坐標系中,
分別是橢圓
的左右焦點,頂點
的坐標是
,連接
并延長交橢圓于點
,過點
作
軸的垂線交橢圓于另一點
,連接
.
(1)若點的坐標為
,且
,求橢圓的方程;
(2)若,求橢圓離心率
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,曲線由上半橢圓
和部分拋物線
連接而成,
的公共點為
,其中
的離心率為
.
(1)求的值;
(2)過點的直線
與
分別交于
(均異于點
),若
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,設橢圓的左、右焦點分別為
,點
在橢圓上,
,
,
的面積為
.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設圓心在軸上的圓與橢圓在
軸的上方有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點,求圓的半徑..
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知P是圓上任意一點,點N的坐標為(2,0),線段NP的垂直平分線交直線MP于點Q,當點P在圓M上運動時,點Q的軌跡為C.
(1)求出軌跡C的方程,并討論曲線C的形狀;
(2)當時,在x軸上是否存在一定點E,使得對曲線C的任意一條過E的弦AB,
為定值?若存在,求出定點和定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點
到準線的距離為
.過點
作直線交拋物線
與
兩點(
在第一象限內(nèi)).
(1)若與焦點
重合,且
.求直線
的方程;
(2)設關于
軸的對稱點為
.直線
交
軸于
. 且
.求點
到直線
的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知點是橢圓
上任一點,點
到直線
的距離為
,到點
的距離為
,且
.直線
與橢圓
交于不同兩點
、
(
,
都在
軸上方) ,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當為橢圓與
軸正半軸的交點時,求直線
方程;
(3)對于動直線,是否存在一個定點,無論
如何變化,直線
總經(jīng)過此定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知雙曲線C:離心率是
,過點
,且右支上的弦
過右焦點
.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求弦的中點
的軌跡E的方程;
(3)是否存在以為直徑的圓過原點O?,若存在,求出直線
的斜率k 的值.若不存在,則說明理由.
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