已知P是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0），線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為C.
（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；
（2）當(dāng)時(shí)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)E，使得對(duì)曲線C的任意一條過(guò)E的弦AB，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）以，為焦點(diǎn)的橢圓；（2）定值6，定點(diǎn)E．設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程，代入

解析試題分析：（1）利用線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，即可求出軌跡的方程；（2）當(dāng)時(shí)，軌跡必為橢圓方程，設(shè)，分別過(guò)E取兩垂直與坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，根據(jù)求出E若存在必為定值為6．再進(jìn)行證明．存在性問(wèn)題，先猜后證是關(guān)鍵.再設(shè)設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線方程，代入橢圓方程，消去，設(shè)，，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得為定值6.
（1）由題意，，所以，
所以軌跡是以、為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸的橢圓，
其方程為.（4分）
（2）由（1）當(dāng)時(shí)，曲線C為，
設(shè)，分別過(guò)E取兩垂直與坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，
則，即
解得，所以E若存在必為定值為6．  （6分）
下證滿足題意.
設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線方程為，代入C中得：
,設(shè)，
則     （8分）


     （13分）
同理可得E也滿足題意.
綜上得定點(diǎn)為E，定值為（14分）
考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用，圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程，軌跡方程的問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一正方形.（12分）
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求
（為原點(diǎn)）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)）.點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn).
（i）設(shè)直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；
（ii）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓相切，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,設(shè)有雙曲線,F1,F2是其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線上．
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面積;
(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面積又是多少?
(3)觀察以上計(jì)算結(jié)果,你能看出隨∠F1MF2的變化,△F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)（點(diǎn)不同于），直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于 直線上一點(diǎn)P．
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動(dòng)直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（12分）（2011•陜西）設(shè)橢圓C：過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過(guò)P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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