Question

已知a≥0，函數(shù)f（x）=x²+ax．設(shè)，記曲線y=f（x）在點M（x₁，f（x₁））處的切線為l，l與x軸的交點是N（x₂，0），O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f'（x），把x=x₁代入到導函數(shù)中求出切線l的斜率，并代入到f（x）中求出f（x₁），寫出切線方程，然后令y=0求出與x軸的交點橫坐標x即x₂得證；
（Ⅱ）根據(jù)第一問寫出M和N的坐標，算出與的數(shù)量積，當a等于0時不等式成立，當a大于0時設(shè)g（x₁）等于數(shù)量積，求出導函數(shù)等于0時，x₁的值，然后利用討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性得到g（x₁）的最小值大于列出關(guān)于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）證明：對f（x）求導數(shù)，得f'（x）=2x+a，故切線l的斜率為2x₁+a，
由此得切線l的方程為y-（x₁²+ax₁）=（2x₁+a）（x-x₁）．
令y=0，得．
（Ⅱ）由，得．
所以a=0符合題意；
當a＞0時，記，．
對g（x₁）求導數(shù)，得，
令g'（x₁）=0，得．
當時，g'（x₁）的變化情況如下表：
所以，函數(shù)g（x₁）在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)g（x₁）的最小值為．
依題意，解得，即a的取值范圍是．
綜上，a的取值范圍是或a=0．
點評：考查學生會進行平面向量的數(shù)量積的運算，掌握不等式恒成立時所取的條件，會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，會利用導數(shù)研究曲線上某點切線的方程．