Question

5．已知函數(shù)f（x）=asinx+cosx（a為常數(shù)，x∈R）的圖象關于直線$x=\frac{π}{6}$對稱，則函數(shù)g（x）=sinx+acosx的圖象（　�。�

• A． 關于點$（{\frac{π}{3}，0}）$對稱
• B． 關于點$（{\frac{2π}{3}，0}）$對稱
• C． 關于直線$x=\frac{π}{3}$對稱
• D． 關于直線$x=\frac{π}{6}$對稱

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的對稱性求得a的值，可得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=asinx+cosx（a為常數(shù)，x∈R）的圖象關于直線$x=\frac{π}{6}$對稱，
∴f（0）=f（$\frac{π}{3}$），即1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$，∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴f（x）=asinx+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx+cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)g（x）=sinx+acosx=sinx+$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
當x=$\frac{π}{3}$時，g（x）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$為最大值，故A錯誤，故g（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{3}$對稱，即C正確．
當x=$\frac{2π}{3}$時，g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$≠0，故B錯誤．
當x=$\frac{π}{6}$時，g（x）=1，不是最值，故g（x）的圖象不關于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，排除D．
故選：C．

點評 本題考查三角恒等變形以及正弦類函數(shù)的對稱性質(zhì)，是三角函數(shù)中綜合性比較強的題目，比較全面地考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．