Question

13．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+2}}$．
（1）求b的值；
（2）證明函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是奇函數(shù)，通過(guò)f（0）=0，求解b即可．
（2）由（1）知函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性定義設(shè)x₁＜x₂，推出f（x₁）-f（x₂）＞0，即可證明函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化不等式：f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0為t²-2t＞k-2t²．然后利用判別式列出不等式求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即$\frac{b-1}{2+2}=0⇒b=1∴f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}$，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)滿足f（-x）=-f（x）∴b=1；
（2）證明：由（1）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
設(shè)x₁＜x₂則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$
因?yàn)楹瘮?shù)y=2^x在R上是增函數(shù)且x₁＜x₂∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}$＞0
又$（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）$＞0∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）為減函數(shù)，由上式推得：t²-2t＞k-2t²．
即對(duì)一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式$△=4+12k＜0⇒k＜-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)恒成立條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的應(yīng)用，是中檔題．