Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD底面為正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)M為線段PA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)N在線段BD上，且PM=DN．
（1）求證：直線MN∥平面PCD；
（2）若M為線段PA中點(diǎn)，求直線PB與平面AMN所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）延長AN，交CD于點(diǎn)G，由相似知$\frac{AN}{NG}=\frac{BN}{ND}=\frac{AM}{MP}$，推出MN∥PG，然后證明直線MN∥平面PCD；
（2）以DA，DC，DP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A（1，0，0），求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，
$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），平面AMN的法向量，利用向量的數(shù)量積求解PB與平面AMN夾角的余弦值．

解答 （1）證明：延長AN，交CD于點(diǎn)G，由相似知$\frac{AN}{NG}=\frac{BN}{ND}=\frac{AM}{MP}$，可得：MN∥PG，
MN?平面PCD，PG?平面PCD，
則直線MN∥平面PCD；
（2）解：由于DA⊥DC⊥DP，以DA，DC，DP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），$M（\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$，$N（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$
則$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），平面AMN的法向量為$\overrightarrow m=（1，1，1）$，
則向量$\overrightarrow{PB}$與$\overrightarrow m$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{1}{3}$，
則PB與平面AMN夾角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．