Question

已知數(shù)列中，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和，并且（，.
（1）設(shè)（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列（），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng).

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），.

解析試題分析：（1）首先條件中如何處理，通常要?dú)w一，即一是轉(zhuǎn)化為相鄰三項(xiàng)的關(guān)系；二是轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系，這里是轉(zhuǎn)化為相鄰三項(xiàng)的關(guān)系，接下來根據(jù)等比數(shù)列的定義，易得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合（1）不難證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）有了（1）（2）的鋪墊很容易求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)照通項(xiàng)公式的特點(diǎn)：它是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到的，故用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的.
試題解析：（1）證明：，，兩式相減得 --3分
即，變形得
設(shè)，則有（），又，，
從而，由此可知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
（2）證明：由（1）知
， 
將代入得（）
由此可知，數(shù)列是公差為，首項(xiàng)的等差數(shù)列，
故（）.
（3）由（2）可知：，


兩式錯(cuò)位相減：
所以 
考點(diǎn)：數(shù)列中的遞推關(guān)系式處理及轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的使用.