Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx，且圖象在點（，f（））處的切線斜率為自然對數(shù)的底數(shù)．
（I）求實數(shù)a的值；
（II）設g（x）=，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當m＞n＞1（m，n∈Z）時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，知f′（x）=a+1+lnx，依題意=a，由此能求出a．
（Ⅱ）因為g（x）==，所以．設∅（x）=x-1-lnx，則∅′（x）=1-，由此能求出g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）要證，即證，即，，由此能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，
依題意=a=1，所以a=1．…（2分）
（Ⅱ）因為，g（x）=，
g（x）==，所以．
設∅（x）=x-1-lnx，
則∅′（x）=1-．…（4分）
當x＞1時，∅′（x）=1-＞0，∅（x）是增函數(shù)．
對?x＞1，∅（x）＞∅（1）=0，
即當x＞1時，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，…（6分）
當0＜x＜1時，∅′（x）=1-＜0．∅（x）是減增函數(shù)．
對?x∈（0，1），∅（x）＞∅（1）=0，
即當0＜x＜1時，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
所以，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）要證，即證，
即，．…（10分），
因為m＞n＞1，由（2）知，g（m）＞g（n），
所以．…（12分）
點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)、不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．