【題目】已知函數(shù).(其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)若恒成立,求
的最大值;
(2)設(shè),若
存在唯一的零點(diǎn),且對(duì)滿足條件的
不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值集合.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)就三種情況利用導(dǎo)數(shù)討論
的單調(diào)性及其相應(yīng)的最小值后可得:
時(shí),
成立,
時(shí),
成立,對(duì)后一種情況構(gòu)建新函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)可求
的最大值即可.
(2)求出,它是一個(gè)減函數(shù)且值域
,故
存在唯一的零點(diǎn)
,再由題設(shè)條件可以得到
,
,用
表示
后可把不等式
化為
,構(gòu)建新函數(shù)
,就
兩類情況利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性后可得實(shí)數(shù)
的取值,注意后者的進(jìn)一步討論以
與
的大小為分類標(biāo)準(zhǔn).
(1),
當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增,取
,
當(dāng)時(shí),
矛盾;
當(dāng)時(shí),
,
只要,即
,此時(shí)
;
當(dāng)時(shí),令
,
,
所以在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,
,
所以,即
,
此時(shí),
令,
,
令,
,
當(dāng),
,
在
上為增函數(shù);
當(dāng),
,
在
上為減函數(shù).
所以,所以
,故
的最大值為
.
(2)在
單調(diào)遞減且
在
的值域?yàn)?/span>
,
設(shè)的唯一的零點(diǎn)為
,則
,
,
即
所以,
,
由恒成立,則
,
得在
上恒成立.
令,
,
.
若,
,
在
上為增函數(shù),注意到
,知當(dāng)
時(shí),
,矛盾;
當(dāng)時(shí),
,
為增函數(shù),
若,則當(dāng)
時(shí),
,,
為減函數(shù),
所以時(shí),總有
,矛盾;
若,則當(dāng)
時(shí),
,,
為增函數(shù),
所以時(shí),總有
,矛盾;
所以即
,此時(shí)當(dāng)
時(shí),
,
為增函數(shù),,
當(dāng)時(shí),
,
為減函數(shù),而
,
所以有唯一的零點(diǎn).
綜上,的取值集合為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)
關(guān)于平面
的對(duì)稱點(diǎn)為
,則
與平面
所成角的正切值為
A. B.
C.
D. 2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且曲線
在點(diǎn)
處的切線平行于
軸.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們?cè)谇蟾叽畏匠袒虺椒匠痰慕平鈺r(shí)常用二分法求解,在實(shí)際生活中還有三分法.比如借助天平鑒別假幣.有三枚形狀大小完全相同的硬幣,其中有一假幣(質(zhì)量較輕),把兩枚硬幣放在天平的兩端,若天平平衡,則剩余一枚為假幣,若天平不平衡,較輕的一端放的硬幣為假幣.現(xiàn)有 27 枚這樣的硬幣,其中有一枚是假幣(質(zhì)量較輕),如果只有一臺(tái)天平,則一定能找到這枚假幣所需要使用天平的最少次數(shù)為( )
A.2B.3C.4D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知分別為
三個(gè)內(nèi)角
的對(duì)邊,向量
,
且
.
(1)求角的大。
(2)若,且
面積為
,求邊
的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
;直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),直線
與曲線
分別交于
,
兩點(diǎn).
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線
的普通方程;
(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為
,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(
),M為該曲線上的任意一點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家,公元五世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理,即祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截,如果截面面積恒相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.設(shè)A,B為兩個(gè)同高的幾何體,A,B的體積不相等,
A,B在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,p是q的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
,其中
,
為正實(shí)數(shù).
(1)若的圖象總在函數(shù)
的圖象的下方,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)設(shè),證明:對(duì)任意
,都有
.
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