Question

【題目】函數(shù)f（x）= ．
（1）若a=5，求函數(shù)f（x）的定義域A；
（2）設(shè)B={x|﹣1＜x＜2}，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b∈B∩（RA）時(shí)，求證： ＜|1+ |．

Answer 1

【答案】
（1）

解： a=5時(shí)，函數(shù)f（x）= ，

∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；

即|x+1|+|x+2|≥5，

當(dāng)x≥﹣1時(shí)，x+1+x+2≥5，∴x≥1；

當(dāng)﹣1＞x＞﹣2時(shí)，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈；

當(dāng)x≤﹣2時(shí)，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；

綜上，f（x）的定義域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．

（2）

證明：∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，

∴RA=（﹣4，1），

∴B∩CRA=（﹣1，1）；

又∵ ，

而 ；

當(dāng)a，b∈（﹣1，1）時(shí)，

（b2﹣4）（4﹣a2）＜0

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

即 ．

【解析】（1）根據(jù)題意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范圍，即是f（x）的定義域A；（2）由A、B求出B∩CRA，即得a、b的取值范圍，由此證明 成立即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對(duì)不等式的證明的理解，了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．