【題目】(本題滿分13分)

某食品廠進行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工費為元(為常數(shù),且,設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為元(),根據(jù)市場調查,銷售量成反比,當每公斤蘑菇的出廠價為30元時,日銷售量為100公斤.

)求該工廠的每日利潤元與每公斤蘑菇的出廠價元的函數(shù)關系式;

)若,當每公斤蘑菇的出廠價為多少元時,該工廠的利潤最大,并求最大值.

【答案】解:()設日銷量………………2

日銷量

. ………………7

)當時,………………8

………………10

,

. ………………12

當每公斤蘑菇的出廠價為26元時,該工廠的利潤最大,最大值為. …………13

【解析】

(1)由條件“日銷售量與(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例”可設日銷量為 ,根據(jù)日利潤每件的利潤×件數(shù),建立函數(shù)關系式,注意實際問題自變量的范圍.
(2)先對函數(shù)進行求導,求出極值點,討論極值是否在范圍內,利用單調性求出函數(shù)的最值.

(1)設日銷量 (k≠0),則=100,

∴k=100e30,

日銷量,

(25≤x≤40).

(2)t=5時,,.

y′≥0x≤26,由y′≤0,得x≥26,

∴y在區(qū)間[25,26]上單調遞增,在區(qū)間[26,40]上單調遞減,x=26時,ymax=100e4

即當每公斤蘑菇的出廠價為26元時,該工廠的每日利潤最大,最大值為100e4元.

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