Question

3．已知x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，y∈R₊，則（x-y）²+（$\sqrt{3-{x}^{2}}$-$\frac{9}{y}$）²的最小值為$21-6\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 分別作y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，y=$\frac{9}{x}$的圖象，分別取點(diǎn)（x，$\sqrt{3-{x}^{2}}$），（x，$\frac{9}{x}$），視為兩圖象上各取一點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合的思想，利用基本不等式的性質(zhì)即可求解．

解答 解：分別作y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，y=$\frac{9}{x}$的圖象，
分別取點(diǎn)（x，$\sqrt{3-{x}^{2}}$），（x，$\frac{9}{x}$），視為兩圖象上各取一點(diǎn)的距離的平方，
設(shè)P為y=x與y=$\frac{9}{x}$的交點(diǎn)，
∴PO²=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{81}$=18，即PO=$3\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，取等號(hào)．
故得的最小值為（OP-$\sqrt{3}$）²=$21-6\sqrt{6}$．
故答案為：$21-6\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)形結(jié)合的思想，圖象的做法和兩點(diǎn)之間的距離公式的運(yùn)用以及基本不等式的性質(zhì)．屬于中檔題．