Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+（a²+b²-9）x+a+b+ab為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的和為3$\sqrt{2}$-$\frac{11}{4}$．

Answer 1

分析 利用還是偶函數(shù)，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡所求的表達式，換元法令t=sinx+cosx，通過二次函數(shù)的性質(zhì)，從而求函數(shù)的最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+（a²+b²-9）x+a+b+ab為偶函數(shù)，可得a²+b²=9，
函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為：a+b+ab，令a=3sinx，b=3cosx，
a+b+ab=3sinx+3cosx+9sinxcosx，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
則-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，t²=1+2sinxcosx，
則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
則f（x）=3sinx+3cosx+9sinxcosx
=3t+9$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{9}{2}$（t²+$\frac{2}{3}$t-1）
=$\frac{9}{2}$（t+$\frac{1}{3}$）²-5；
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-5≤$\frac{9}{2}$（t+$\frac{1}{3}$）²-5≤$3\sqrt{2}+\frac{9}{4}$；
故函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值：3$\sqrt{2}$-$\frac{11}{4}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$-$\frac{11}{4}$．

點評 本題考查了換元法與配方法求函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．