Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用降冪公式與輔助角公式可將函數(shù)f（x）化簡為f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，再利用其最小正周期為π可求ω的值；
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）可求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）x∈[0，$\frac{2π}{3}$]⇒（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]⇒sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，從而可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$------------------（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
所以ω=$\frac{2π}{π}$=2，-----------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z--------------（8分）
（Ⅲ）因?yàn)閤∈[0，$\frac{2π}{3}$]，所以（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]
所以sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{3}{2}$]．
即f（x）的取值范圍為[0，$\frac{3}{2}$]---------------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換及其應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．